定义与目的

 定义： 开环系统 某个参数 $0$ ~ $\infty$ 闭环极点的轨迹
 目的： 分析系统的各种性能（稳定性、稳态性能、动态性能）

 注：根轨迹增益与开环增益：
 根轨迹增益： 所有S前面系数为1
 开环增益： 所有常数为1，尾1

闭环零极点与开环零极点的关系

$闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点$

  闭环极点与 开环零点 开环极点   根轨迹增益 $K^*$ 有关。

幅值条件与相角条件

注：根轨迹方程
闭环特征方程

模值条件

$K^* = \frac{\prod_{i=1}^{n}|(s-p_i)|}{\prod_{j=1}^{m}|(s-z_j)|}$

   $极点/零点$

相角条件

$\sum_{j=1}^{m} \angle (s-z_j) - \sum_{i=1}^{n}\angle(s-p_i) = (2k+1)\pi$

   $零点-极点$

实例1：判断某点是否在根轨迹上

  满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件

  详细信息

根轨迹绘制法则

法则一   起点与终点

  起始于开环极点， 终止于开环零点。
  如果开环极点个数n大于开环零点个数m， 则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。

法则二   分支数、对称性和连续性

  根轨迹分支数 $=$ 闭环特征方程的阶数 $=$ 闭环极点的数目 $=$ $max\{$ 开环极点个数 ，开环零点个数 $\}$
   连续且对称于实轴

法则三   实轴上的根轨迹

  实轴上某一区域， 其右边开环零极点个数为奇数时， 这区域是根轨迹的一部分。

定理

  若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。

法则四   根之和

  $n-m\geq2$ 时，闭环特征方程根之和保持一个常值，该常值为开环极点之和。即：闭环极点之和 $=$ 开环极点之和

$\sum_{i=1}^ns_i = \sum_{i=1}^np_i = C$

法则五   渐近线

  与实轴交点 $\sigma_a$ ， 与实轴夹角 $\phi_a$ ， n为闭环极点个数，m为闭环零点个数， 则：

$\sigma_a = \frac{\sum_{i=1}^{n}p_i-\sum_{j=1}^{m}z_j}{n-m}$
$\phi_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m}$

法则六   分离点

  分离点d满足如下式子：

$\sum_{i=1}^n\frac{1}{d-p_i} = \sum_{j=1}^m\frac{1}{d-z_j}$

法则七   与虚轴交点

  令闭环特征方程中的 $s=j\omega$ 即可求出与虚轴交点 $\omega$ 以及根轨迹增益 $K^*$ 。

法则八   起始角与终止角

  相角条件

实例2：根轨迹绘制

根轨迹绘制的一般步骤：

1. 确定实轴上的根轨迹
2. 确定根轨迹的渐近线
3. 确定分离点
4. 确定起始角与终止角
5. 确定根轨迹与虚轴的交点

  详细信息

附录：根轨迹例题

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